LAS DERIVADAS Y SUS APLICACIONES

1.      INTRODUCCIÓN

Casi todo lo que nos rodea está en continua modificación, los cuerpos cambian de posición, la temperatura  ambiente varia, la presión atmosférica se altera, la tasa de inflación se dispara, la población crece, la mortalidad disminuye, etc. Es muy probable que unas de las palabras más utilizadas en nuestro lenguaje cotidiano, social o escolar sea la variación, es una palabra siempre presente en la física, en la química, en la tecnología, en la economía, etc. En casi todos los procesos naturales aparecen magnitudes que varían con respecto a otras con las que están relacionadas. Las matemáticas que están al servicio del hombre y de sus necesidades crean el concepto de derivada que va a ser utilizado  para medir y conocer hasta sus últimas  consecuencias la variación de cualquier magnitud que depende funcionalmente de otra (Balabasquer-Villa, 1994).

 Unas de las aplicaciones de la derivada es la resistencia mecánica, los ingenieros deben de considerar no sólo cómo se acomodará un paquete en un recipiente de embarque sino como se exhibirá en el anaquel de una tienda. La esfera puede ser la forma más fuerte, pero con toda seguridad no resultaría práctica para ser usada como empaque para un producto ( Larson et al; 2005)..

 En ciencia, ingeniería y negocios a menudo tenemos interés en los valores máximos y mínimos de una función; por ejemplo, una empresa tiene interés natural de maximizar sus ganancias a la vez que minimiza los costos. La próxima vez que vaya al supermercado, observe que todas las latas que contienen, por ejemplo, 15 oz de alimento (0.01566569 pies³ ) tienen el mismo aspecto físico. El hecho de que todas las latas de un volumen especifico  tengan la misma forma (mismo radio y altura) no es coincidencia, puesto que hay dimensiones especificas que minimizan la cantidad de metal usado y, entonces, reducen los costos de construcción de la lata a una empresa. En el mismo tenor, muchos de los denominados automóviles económicos comparten muchas características extraordinariamente semejantes. Esto no es tan simple como el que una empresa copie el éxito de otra empresa, sino, en vez de ello, que un gran número de ingenieros busquen el diseño que minimice la cantad del material usado, esto se puede lograr a través del cálculo (zill, 2011).

SECUENCIA DIDÁCTICAS No. 3: LAS DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN

                                                                INTRODUCCIÓN

Se sabe que Isaac Newton (1642-1727), matemático y físico inglés, fue el primero en establecer muchos de los principios básicos del cálculo en manuscritos no publicados sobre el método de fluxiones, fechado en 1665. La palabra fluxión se originó por el concepto de cantidades que “fluyen”; es decir, cantidades que cambian a cierta razón. Newton usó la notación de punto y para representar una fluxión, o como se conoce ahora: la deriva de una función. Newton alcanzó fama imperecedera con la publicación de su ley de la gravitación universal en su tratado Philosophiae Naturalis Mathematica en 1987. Newton también fue el primero en demostrar, usando el cálculo y su ley de gravitación, las tres leyes empíricas de Jhonnes Kleper del movimiento planetario, y el primero en demostrar que la luz blanca está compuesta de todos los colores. Newton fue electo al parlamento, nombrado guardián de la Real Casa de Moneda y nombrado caballero en 1705. Sir Isaac Newton dijo acerca de estos logros: “Si he visto más lejos que otros, es porque me apoyé en los hombres de gigantes” (Zill y Wright, 2011).

Por otro lado el matemático, abogado y filósofo alemán Gottfried Wihelm Leibniz  (1646-1716) publicó una versión corta de su cálculo en un artículo en un periódico alemán en 1684. La notación  dy/dx  para la derivada de una función se debe a Leibniz. De hecho, fue Leibniz quien  introdujo la palabra función en la literatura matemática. Pero, puesto que es bien sabido que los manuscritos de Newton sobre el método de fluxiones datan de 1665, Leibniz fue acusado de apropiarse de las ideas de Newton a partir de esta obra no publicada. Alimentando el orgullo nacionalista, durante muchos años hubo una controversia sobre quién de los dos “invento” el cálculo. Hoy los historiadores coinciden en que ambos a muchas de las premisas más importante del cálculo de manera independiente. Leibniz y Newton se consideran “coinventores” del tema (op cit).

Cabe mencionar que la derivada se puede interpretar en forma geométrica como la pendiente de una curva, y físicamente, como la razón de cambio. Las derivadas se pueden utilizar para representar todo, desde fluctuaciones en las tasas de interés hasta la tasa de mortalidad de los peces,  o la rapidez de crecimiento de un tumor (Hughes, Hallett,  et al; 1999).

SECUENCIA DIDÁCTICA No. 2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Y SUS APLICACIONES

                                                            INTRODUCCIÓN

Los orígenes del cálculo se remonta a unos 2500 años, hasta los antiguos Griegos, quienes hallaron áreas aplicando el “Método del agotamiento”. Sabían cómo hallar el área A de cualquier polígono al dividirlo en triángulos y sumar sus áreas de estos triángulos. Hallar el área de una figura curva es un problema mucho más difícil. El método Griego del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otro polígono entorno a la misma a la misma figura, hacer que el numero de lados de los polígonos aumentara. Los Griegos no aplicaron explícitamente los límites, sin embargo, por razonamiento indirecto Eudoxo (Siglo V a. C), utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula del área de un circulo A=〖πr〗^2. En el siglo V a. C., el filosofo Griego Zenón de Elea propuso cuatro problemas, que ahora se conocen como paradojas de Zenón, las cuales desafiaban algunas ideas concerniente al espacio y el tiempo que sostenían en sus ideas. La segunda paradoja de Zenón se refiere a una carrera entre el héroe Griego Aquiles y una tortuga a la que se la ha dado una ventaja inicial. Así en términos de sucesiones se dieron los principios del cálculo y del límite de una función (Stewart, 2007).


En un curso de típico de cálculo se incluyen muchos temas, sin embargo, los temas más importantes en este estudio son los conceptos de límite, derivada e integral. Una de las competencias especifica es “comprender el concepto de límite de funciones y aplicarlo para determinar de manera analítica la continuidad de una función en un punto o en un intervalo, y mostrar gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad” (Zill y Warren, 2011).

Una de las tantas definiciones del límite de una función se circunscribe de la siguiente manera: cuando escribimos lim┬(x→a)⁡〖f(x)=B〗 diremos “el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a B”, si podemos acercar arbitrariamente a los valores de f(x) a B (tanto como queramos o necesitemos) tomando x lo bastante cerca de a, pero no igual a a. Lo que significa que en la función f(x) si tomamos valores de x que se acerquen a el valor fijo de a, los valores de las y=f(x) se acercan a B. Existen límites laterales (izquierdo, derecho), también se rigen por las leyes de los límites. De manera práctica el límite nos dice cual es el comportamiento de una función (si aumenta al infinito, se dirige a un número particular, se va a cero, oscila, etcétera), es importante por en este curso de cálculo diferencial, se tiene que derivar los diferentes tipos de funciones y la derivada es un límite (Scherzer, 2008).